康托爾

Ⅰ 康托爾的生平事跡有哪些

康托爾是德國數學家，數學集合論的創始者，1845年3月3日生於聖彼得堡，11歲時移居德國。他很小的時候就表現出了極高的科學天賦，並且選擇了數學作為自己的專業。1867年獲得了柏林大學的哲學博士學位，1869年通過了哈雷大學講師資格考試，成為該校的講師，1879年升任教授。

隨著科學的進步，數學理論的研究逐漸轉向其本身，例如：「整數究竟有多少」、「一個圓周上有多少個點」、「0—1之間的數比一寸長線段上的點還多嗎?」當我們在無法回答這些涉及無窮量數學難題的時候，集合論也就應運而生了。

康托爾提出了集合的概念，並提出了一一對應的方法，由此而造成了對無窮中的悖論的研究。

「悖論」是在科學研究中推出的一些合乎邏輯的但又荒謬的結果，所以與當時的許多傳統觀點格格不入，因此許多數學家都採取敬而遠之的態度。在康托爾研究的剛開始人們都說他的理論是「霧中之霧」，難以明曉。他的老師還攻擊他說「康托爾走進了超窮數的地獄」，年輕的康托爾在這種條件下頂著重壓向神秘的無窮宣戰了。

靠著天才的智慧和辛勤的汗水，康托爾證明了一條直線上的點能夠和一個平面上以及空間中的點一一對應。依此理解1米長的線段內的點與印度洋面上的點是「相等的」。他抓住這個結論不放，展開深入的研究並得出了許多驚人的結論。

1884年，康托爾發表了題為《關於無窮線性點集》6篇論文，對他前期的研究作了一個總結。論文發表之後，並不像他事前想像的那樣會引起數學界的轟動，相反的是遭到了很多人的反對，甚至攻擊和謾罵。剛開始他並沒有放在心上，可是這種攻擊越來越嚴重，他的集合理論被說成像「霧」一樣見不得陽光，德國數學家克羅內克是一個天生的懷疑者，他對康托爾的攻擊長達10年之久，是言詞最為激烈的一個。迫於數學界的攻擊與壓力，康托爾被冠以「瘋子」的稱號。這種精神壓力日積月累使他心力交瘁，最終患了精神分裂症，被送進精神病醫院，從此他再也沒有出來，直到逝世。

真理總是能經得住時間的考驗的。隨著數學研究的發展，許多數學家發現康托爾的理論具有很強的科學性。1897年，他的理論在第一次國際數學家會議上得到了公認。遺憾的是康托爾仍然神志恍惚，無法從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年，康托爾在哈勒大學附屬精神病院去世。

康托爾的去世為數學的發展帶來了很大的損失，他之所以發瘋也有著很深的個人原因和社會原因。他天性敏感容易激動，把別人的批評看得過重。因而對於反對意見難以從學術角度去應付，當面對攻擊與指責時，他找不到解決問題的出路轉而求助於神學觀點和柏拉圖信仰主義，這樣的結局是他個人的悲劇也是社會的悲劇，同時也是科學研究本身的難題所致。

Ⅱ 什麼是：康托爾—伯恩斯坦—施羅德定理

上面那個就是能裝，用通俗語言來說就是，假如我有兩個筐，一筐蘋果一筐梨，梨的數量不比蘋果少，蘋果的數量也不比梨少，那蘋果和梨就一樣多

Ⅲ 康托爾為什麼會瘋

康托爾天性神經過敏，容易激動，帶有極強的感情色彩，把別人的批評看得過重，因此對於反對意見難以從學術的角度去應付。「克羅內克或許由於康托爾的悲劇受到了過分嚴厲的指責;他的攻擊只是許多起作用的原因中的一個。沒有得到承認，使這個相信他朝著無限的合理理論邁出了第一步—和最後一步—的人產生了怨恨，沮喪使自己患了憂鬱症和喪失理性。」任何一種新的思想都可能遭到別人的懷疑和反對，這些懷疑和反對並非都是無理取鬧，對澄清新思想那些模糊不清的概念起著重要作用。克羅內爾在學生面前謾罵康托爾是不光彩的行為，但他也有表現起紳士風度和學者的時候，即通過學術文章客觀地解決爭論。

Ⅳ 康托爾是哪國人

數學家康托爾（Georg Cantor，1845－1918）是德國數學家，集合論的創始者 1845年3月3日生於聖彼得堡，1918年1月6日病逝於哈雷.
康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學 1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學，翌年入柏林大學，主修數學，1866年曾去格丁根學習一學期 1867年以數論方面的論文獲博士學位 1869年在哈雷大學通過講師資格考試，後在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授 .
由於研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果(稱為「悖論」)，許多大數學家唯恐陷進去而採取退避三舍的態度 在1874—1876年期間，不到30歲的年輕德國數學家康托爾向神秘的無窮宣戰 他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應 這樣看起來，1厘米長的線段內的點與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都「一樣多」，後來幾年，康托爾對這類「無窮集合」問題發表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論 .

Ⅳ 康托爾集是有什麼性質

在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。
康托爾三分集的形成過程實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托爾集。
康托爾定理：用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，康托爾定理如下：cardX<cardP(X)
.證明：對於空集來說，上述結論顯然成立，所以可設X≠空集。因為P(X)含有X的一切單元素子集，故cardX≤cardP(X),現只需證明兩者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是雙射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那樣一些元素x∈X,x不含於它對應的集f(x)∈P(X),，組成的。因為A∈P(X)，所以必能找到一個元素a∈X,使f(a)=A,這個元素a∈X既不能有a∈A(據A的定義)，也不能有a不∈A（也是根據A的定義）,這與排中律矛盾。得證。

Ⅵ 康托爾比較無窮大數的規則

這里用到了一個「勢」的概念，這個概念是康托爾發明的.
兩個集合（包括無窮集合）如果能夠建立一一映射能認為它們的勢相同.
偶數集的「勢」與整數集的「勢」相等，因為有
1>2,
2>4,
3>6,
……
能夠建立一個一一映射.

而整數集的「勢」小於實數集的「勢」，
實數集元素的個數與一條直線（也可以是一條線段）上的點個數相等，
因為每一個實數與直線上的每一點都可以建立一一映射.

Ⅶ 怎麼評價康托爾的影響呢

首先，要評價康托爾的影響，首先需要知道他做了什麼。他的主要貢獻在於兩個：1，集合論。2，超窮數理論。這兩個都對應著同一個元數學對象，那就是「無窮」。介紹下背景和影響：所謂「集合論」，集合論在誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念，但是這些概念數學家並沒有準確的在元數學層面去「定位」他，雖然數學分析理論在此時已經初見規模，但是不解決這個理論基礎問題，總歸體系不明。柯西在《極限理論》解決了這些基本的邏輯困難。但是並沒有徹底完成「分析」的嚴密化，有一定的模糊性，因為沒有真正拜託幾何直觀，不深入到基礎中去，無法達成良好自恰。而讓康托爾開始深入到「分析」領域的其實是這樣與個問題：「任意函數的三角級數的表達式是否唯一。」海涅證明了「定義區間里除去間斷點任意小鄰域保持一直收斂」。。但間斷點的情況如何呢。康托爾做了如下理論建立：點集論，也就是將無窮點集作為對象。而這種思想的影響大概在以下幾點：1，一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應，恰恰反應了無窮集合的一個本質特徵。2，確立了實數不可數性質。3，n維連續空間與一維連續統具有相同的基數。4，給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中藉助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。5，康托爾對於「無窮」在元數學上的立場和認識，讓哲學認識論領域的「千年老坑」被炸了出來，正愁沒事乾的哲學家們瞬間找到目標了，大量關於集合論本身的數學哲學討論，以及其他哲學領域的討論被炸了出來，這也算是元數學研究對於哲學命題方向的一次指導。6，這種新的理論概念已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門，也引起了哲學方法論的一些討論。

而「超限數理論」進一步擴充了他的研究，作用在於：改變了早期用公理定義(序)數的方法，採用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個「序列」；規定了它們基本運算。

Ⅷ 怎麼評價康托爾的影響

創立了現代集合論作為實數理論以至整個微積分理論體系的基礎。他還提出了集合的勢和序的概念。他的著作有：《G·康托爾全集》1卷及《康托爾—戴德金通信集》等。 康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創立者。是數學史上最富有想像力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關於連續性和無窮的研究從根本上背離了數學中關於無窮的使用和解釋的傳統，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的發展最終證明康托是正確的。他所創立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。

Ⅸ 格奧爾格·康托爾的生平簡介

康托爾，1862年入蘇黎世大學學工,翌年轉入柏林大學攻讀數學和神學，受教於庫默爾（Kummer，Ernst Eard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以解決一般整系數不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題的論文獲博士學位。畢業後受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數論轉向嚴格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學任教（1869-1913）的初期證明了復合變數函數三角級數展開的唯一性，繼而用有理數列極限定義無理數。1872年成為該校副教授，1879年任教授。由於學術觀點上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂症，雖在1887年恢復了健康，繼續工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學附屬精神病院去世。
康托爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數學方面的興趣是數論，1870年開始研究三角級數並由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數學成就——集合論和超窮數理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創立過程中所涉及的數理哲學問題.1888-1893年康托爾任柏林數學會第一任會長，1890年領導創立德國數學家聯合會並任首屆主席。

Ⅹ 康托爾定理的介紹

康托爾定理(Cantor&#39;s Theorem)：用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，則cardX &lt; cardP(X)。